Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 18 \\ c = & 30 \\ a = & 24 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(18)}^{2} + {(30)}^{2} - {(24)}^{2}}{2 (18) (30)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{324 + 30^{2} - 24^{2}}{2 (18) \cdot 30})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $30$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{324 + 900 - 24^{2}}{2 (18) \cdot 30})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $24$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{324 + 900 - 1 \cdot 576}{2 (18) \cdot 30})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $576$ .

$A = \arccos (\frac{324 + 900 - 576}{2 (18) \cdot 30})$

Schritt 4.1.5

Addiere $324$ und $900$ .

$A = \arccos (\frac{1224 - 576}{2 (18) \cdot 30})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $576$ von $1224$ .

$A = \arccos (\frac{648}{2 (18) \cdot 30})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$A = \arccos (\frac{648}{36 \cdot 30})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $30$ .

$A = \arccos (\frac{648}{1080})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $648$ und $1080$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $216$ aus $648$ heraus.

$A = \arccos (\frac{216 (3)}{1080})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $216$ aus $1080$ heraus.

$A = \arccos (\frac{216 \cdot 3}{216 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{216 \cdot 3}{216 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{3}{5})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{3}{5})$ .

$A = 53.13010235$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(24)}^{2} + {(30)}^{2} - {(18)}^{2}}{2 (24) (30)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{576 + 30^{2} - 18^{2}}{2 (24) \cdot 30})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $30$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{576 + 900 - 18^{2}}{2 (24) \cdot 30})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $18$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{576 + 900 - 1 \cdot 324}{2 (24) \cdot 30})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $324$ .

$B = \arccos (\frac{576 + 900 - 324}{2 (24) \cdot 30})$

Schritt 8.1.5

Addiere $576$ und $900$ .

$B = \arccos (\frac{1476 - 324}{2 (24) \cdot 30})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $324$ von $1476$ .

$B = \arccos (\frac{1152}{2 (24) \cdot 30})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$B = \arccos (\frac{1152}{48 \cdot 30})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $30$ .

$B = \arccos (\frac{1152}{1440})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1152$ und $1440$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $288$ aus $1152$ heraus.

$B = \arccos (\frac{288 (4)}{1440})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $288$ aus $1440$ heraus.

$B = \arccos (\frac{288 \cdot 4}{288 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{288 \cdot 4}{288 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{4}{5})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{4}{5})$ .

$B = 36.86989764$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$53.13010235 + C + 36.86989764 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $53.13010235$ und $36.86989764$ .

$C + 90 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 90$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$C = 90$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 53.13010235$

$B = 36.86989764$

$C = 90$

$a = 24$

$b = 18$

$c = 30$