Trigonometrie Beispiele

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ .

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 4

Setze $2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 4.2.6.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 7.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{4} + 0 π$

Schritt 7.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Schritt 7.1.2.2

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 7.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Schritt 7.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $\frac{2 π}{3}$ und $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 7.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.3

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.3.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{4 π}{3} + 0$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $\frac{4 π}{3}$ und $0$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 7.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Schritt 7.4

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.4.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

Schritt 7.4.2

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

Schritt 7.4.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{7 π}{4} + 0$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $\frac{7 π}{4}$ und $0$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 7.4.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$