Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \log (x^{2} - 12 x + 27)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log (x^{2} - 12 x + 27)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} - 12 x + 27 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 12 x + 27 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 9, - 3$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 9) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 9, 3$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 27 > 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $27$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{2} - 12 \cdot 6 + 27 > 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 9$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(12)}^{2} - 12 \cdot 12 + 27 > 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $27$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 9$ Falsch

$x > 9$ Wahr

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 9$ Falsch

$x > 9$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 3$ oder $x > 9$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3) \cup (9, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 3, x > 9}$

Schritt 4