Trigonometrie Beispiele

${(y - 3)}^{2} = 20 (x + 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ um.

$20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ durch $20$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $20 (x + 1) = {(y - 3)}^{2}$ durch $20$ .

$\frac{20 (x + 1)}{20} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 (x + 1)}{20} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$x + 1 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{20} - 1$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$\frac{1}{20} \cdot ((y - 3) (y - 3)) - 1$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{20} \cdot (y (y - 3) - 3 (y - 3)) - 1$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)) - 1$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 3 y - 3 y + 9) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 6 y + 9) - 1$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{20} y^{2} + \frac{1}{20} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{20} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 (10)} (- 6 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y$ heraus.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 (10)} (2 (- 3 y)) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{2 \cdot 10} (2 (- 3 y)) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{10} (- 3 y) + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3}{10} y + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kombiniere $\frac{- 3}{10}$ und $y$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3 y}{10} + \frac{1}{20} \cdot 9 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $9$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1$

Schritt 1.2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1$

Schritt 1.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} - 1 \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{20}{20}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9}{20} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9 - 1 \cdot 20}{20}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{9 - 20}{20}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $20$ von $9$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} + \frac{- 11}{20}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{3 y}{10} - \frac{11}{20}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{20}$

$b = - \frac{3}{10}$

$c = - \frac{11}{20}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{3}{10}}{2 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{20}$ .

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2}{20}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{20}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{3}{10} (1 \cdot 10)$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{10}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 3}{10} (1 \cdot 10)$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Faktorisiere $10$ aus $1 \cdot 10$ heraus.

$d = \frac{- 3}{10} (10 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 3}{10} (10 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 3$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{{(- \frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{10}$ an.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 {(\frac{3}{10})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{10}$ an.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 \frac{3^{2}}{10^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 \frac{9}{10^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{1 (\frac{9}{100})}{4 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{100}$ mit $1$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{4 (\frac{1}{20})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{20}$ .

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4}{20}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 (1)}{20}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{\frac{9}{100}}{\frac{1}{5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{100} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $100$ heraus.

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{5 (20)} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{11}{20} - (\frac{9}{5 \cdot 20} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{11}{20} - \frac{9}{20}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 11 - 9}{20}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $9$ von $- 11$ .

$e = \frac{- 20}{20}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 20$ durch $20$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{20} {(y - 3)}^{2} - 1$ ein.

$\frac{1}{20} {(y - 3)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 3)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{20}$

$h = - 1$

$k = 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, 3)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{20}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{20}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{20}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{20}}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{5}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 5$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 6$

Schritt 6