Trigonometrie Beispiele

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$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 9 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 45 \\ B = & 45 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Ermittle

$b$ .

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Schritt 1.1

Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 1.2

Setze den Namen jeder Seite in die Definition der Kosinusfunktion ein.

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

Schritt 1.3

Stelle die Gleichung auf, um nach der Ankathete aufzulösen, in diesem Fall

$b$ .

$b = c \cdot \cos (A)$

Schritt 1.4

Setze die Werte jeder Variablen in die Formel für den Kosinus ein.

$b = 9 \cdot \cos (45)$

Schritt 1.5

Kombiniere

$9$ und

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Berechne die übrig gebliebene Seite unter Anwendung des Satzes von Pythagoras.

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Schritt 2.1

Wende den Satz des Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu bestimmen. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates, dessen Seite die Hypotenuse (die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, deren Seiten die beiden Schenkel sind (die zwei Seiten, die nicht die Hypotenuse sind).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach

$a$ auf.

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Schritt 2.3

Setze die tatsächlichen Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(9)}^{2} - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere

$9$ mit

$2$ .

$a = \sqrt{81 - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf

$\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ an.

$a = \sqrt{81 - \frac{{(9 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf

$9 \sqrt{2}$ an.

$a = \sqrt{81 - \frac{9^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Potenziere

$9$ mit

$2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 2.6.2.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{4}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere

$81$ mit

$2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{162}{4}}$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$162$ und

$4$ .

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere

$2$ aus

$162$ heraus.

$a = \sqrt{81 - \frac{2 (81)}{4}}$

Schritt 2.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.3.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$a = \sqrt{81 - \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \sqrt{81 - \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \sqrt{81 - \frac{81}{2}}$

Schritt 2.8

$81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$a = \sqrt{81 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}}$

Schritt 2.9

Kombiniere

$81$ und

$\frac{2}{2}$ .

$a = \sqrt{\frac{81 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \sqrt{\frac{81 \cdot 2 - 81}{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere

$81$ mit

$2$ .

$a = \sqrt{\frac{162 - 81}{2}}$

Schritt 2.11.2

Subtrahiere

$81$ von

$162$ .

$a = \sqrt{\frac{81}{2}}$

Schritt 2.12

Schreibe

$\sqrt{\frac{81}{2}}$ als

$\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}}$ um.

$a = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Schreibe

$81$ als

$9^{2}$ um.

$a = \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = \frac{9}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.14

Mutltipliziere

$\frac{9}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{9}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.15

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.15.1

Mutltipliziere

$\frac{9}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.15.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.15.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.15.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.15.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.15.6

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 2.15.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.15.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.15.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.15.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 2.15.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.15.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.15.6.5

Berechne den Exponenten.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 45$

$B = 45$

$C = 90$

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

$c = 9$