Trigonometrie Beispiele

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\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 6 \sqrt{3} \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 6 \sqrt{3} \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Ermittle

c

$c$ .

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Schritt 1.1

Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

\sin (B) = \frac{opp}{hyp}

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 1.2

Setze den Namen jeder Seite in die Definition der Sinusfunktion ein.

\sin (B) = \frac{b}{c}

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

Schritt 1.3

Löse die Gleichung nach der Hypthenuse auf, in diesem Fall

c

$c$ .

c = \frac{b}{\sin (B)}

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

Schritt 1.4

Setze die Werte jeder Variablen in die Formel für den Sinus ein.

c = \frac{6 \sqrt{3}}{\sin (60)}

$c = \frac{6 \sqrt{3}}{\sin (60)}$

Schritt 1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

c = 6 \sqrt{3} (\frac{2}{\sqrt{3}})

$c = 6 \sqrt{3} (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ aus

6 \sqrt{3}

$6 \sqrt{3}$ heraus.

c = \sqrt{3} \cdot (6 (\frac{2}{\sqrt{3}}))

$c = \sqrt{3} \cdot (6 (\frac{2}{\sqrt{3}}))$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

c = \sqrt{3} \cdot (6 (\frac{2}{\sqrt{3}}))

$c = \sqrt{3} \cdot (6 (\frac{2}{\sqrt{3}}))$

Schritt 1.6.3

Forme den Ausdruck um.

c = 6 \cdot 2

$c = 6 \cdot 2$

c = 6 \cdot 2

$c = 6 \cdot 2$

Schritt 1.7

Mutltipliziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

c = 12

$c = 12$

c = 12

$c = 12$

Schritt 2

Berechne die übrig gebliebene Seite unter Anwendung des Satzes von Pythagoras.

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Schritt 2.1

Wende den Satz des Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu bestimmen. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates, dessen Seite die Hypotenuse (die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, deren Seiten die beiden Schenkel sind (die zwei Seiten, die nicht die Hypotenuse sind).

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach

a

$a$ auf.

a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Schritt 2.3

Setze die tatsächlichen Werte in die Gleichung ein.

a = \sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}

$a = \sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Potenziere

12

$12$ mit

2

$2$ .

a = \sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}

$a = \sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf

6 \sqrt{3}

$6 \sqrt{3}$ an.

a = \sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}

$a = \sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 2.4.3

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

a = \sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}

$a = \sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}$

a = \sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}

$a = \sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 2.5

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

a = \sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}

$a = \sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

Schritt 2.5.5

Berechne den Exponenten.

a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

Schritt 2.6

Multipliziere

- (36 \cdot 3)

$- (36 \cdot 3)$ .

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere

36

$36$ mit

3

$3$ .

a = \sqrt{144 - 1 \cdot 108}

$a = \sqrt{144 - 1 \cdot 108}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

108

$108$ .

a = \sqrt{144 - 108}

$a = \sqrt{144 - 108}$

a = \sqrt{144 - 108}

$a = \sqrt{144 - 108}$

Schritt 2.7

Subtrahiere

108

$108$ von

144

$144$ .

a = \sqrt{36}

$a = \sqrt{36}$

Schritt 2.8

Schreibe

36

$36$ als

6^{2}

$6^{2}$ um.

a = \sqrt{6^{2}}

$a = \sqrt{6^{2}}$

Schritt 2.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

a = 6

$a = 6$

a = 6

$a = 6$

Schritt 3

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

A = 30

$A = 30$

B = 60

$B = 60$

C = 90

$C = 90$

a = 6

$a = 6$

b = 6 \sqrt{3}

$b = 6 \sqrt{3}$

c = 12

$c = 12$