Trigonometrie Beispiele

$y = - \frac{1}{4} x^{2} + 4 x - 19$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 4 x - 19$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x - 19$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 4$

$c = - 19$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 2 (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = 2 \cdot - 4$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$d = - 8$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 19 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = - 19 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 19 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - 19 - \frac{4}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - 19 - (4 (- 1 \cdot 4))$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere $- (4 (- 1 \cdot 4))$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 19 - (4 \cdot - 4)$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = - 19 - - 16$

Schritt 1.2.4.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$e = - 19 + 16$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 19$ und $16$ .

$e = - 3$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(x - 8)}^{2} - 3$ ein.

$- \frac{1}{4} {(x - 8)}^{2} - 3$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 8)}^{2} - 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 8$

$k = - 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(8, - 3)$

Schritt 4