Trigonometrie Beispiele

y = - \frac{1}{4} x^{2} + 4 x - 19

$y = - \frac{1}{4} x^{2} + 4 x - 19$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere

x^{2}

$x^{2}$ und

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

y = - \frac{x^{2}}{4} + 4 x - 19

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 4 x - 19$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf

- \frac{x^{2}}{4} + 4 x - 19

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x - 19$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = - \frac{1}{4}

$a = - \frac{1}{4}$

b = 4

$b = 4$

c = - 19

$c = - 19$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{4}{2 (- \frac{1}{4})}

$d = \frac{4}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

4

$4$ und

2

$2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

4

$4$ heraus.

d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{4})}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 2 (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere

$2 (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$d = 2 \cdot - 4$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 4$ .

$d = - 8$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 19 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$4^{2}$ und

$4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere

$4$ aus

$4^{2}$ heraus.

$e = - 19 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 19 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - 19 - \frac{4}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - 19 - (4 (- 1 \cdot 4))$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere

$- (4 (- 1 \cdot 4))$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$e = - 19 - (4 \cdot - 4)$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 4$ .

$e = - 19 - - 16$

Schritt 1.2.4.2.1.3.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 16$ .

$e = - 19 + 16$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere

$- 19$ und

$16$ .

$e = - 3$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

$- \frac{1}{4} {(x - 8)}^{2} - 3$ ein.

$- \frac{1}{4} {(x - 8)}^{2} - 3$

Schritt 1.3

Setze

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 8)}^{2} - 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

$a$ ,

$h$ und

$k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 8$

$k = - 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt

$(h, k)$ .

$(8, - 3)$

Schritt 4