Trigonometrie Beispiele

$(- 15, 5 \sqrt{3})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- 15)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$r = \sqrt{225 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{3}$ an.

$r = \sqrt{225 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{225 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{225 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{225 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$r = \sqrt{225 + 75}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Addiere $225$ und $75$ .

$r = \sqrt{300}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{300}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$r = \sqrt{100 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$r = \sqrt{10^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{10^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{5 \sqrt{3}}{- 15})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ist $θ = 150 °$ .

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = 150 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(10 \sqrt{3}, 150 °)$