Trigonometrie Beispiele

(- 15, 5 \sqrt{3})

$(- 15, 5 \sqrt{3})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten

(x, y)

$(x, y)$ in Polarkoordinaten

(r, θ)

$(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze

x

$x$ und

y

$y$ durch die tatsächlichen Werte.

r = \sqrt{{(- 15)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 15)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Potenziere

- 15

$- 15$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{225 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}

$r = \sqrt{225 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf

5 \sqrt{3}

$5 \sqrt{3}$ an.

r = \sqrt{225 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{225 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{225 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{225 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

r = \sqrt{225 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{225 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

r = \sqrt{225 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$r = \sqrt{225 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{225 + 25 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere

$25$ mit

$3$ .

$r = \sqrt{225 + 75}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Addiere

$225$ und

$75$ .

$r = \sqrt{300}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{300}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Schreibe

$300$ als

$10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere

$100$ aus

$300$ heraus.

$r = \sqrt{100 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Schreibe

$100$ als

$10^{2}$ um.

$r = \sqrt{10^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{10^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze

$x$ und

$y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{5 \sqrt{3}}{- 15})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ist

$θ = 150 °$ .

$r = 10 \sqrt{3}$

$θ = 150 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in

$(r, θ)$ -Form.

$(10 \sqrt{3}, 150 °)$