Trigonometrie Beispiele

\sin (x) + \cos (2 x) = 1

$\sin (x) + \cos (2 x) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

\sin (x) + \cos (2 x) - 1 = 0

$\sin (x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um

\cos (2 x)

$\cos (2 x)$ nach

1 - 2 \sin^{2} (x)

$1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0

$\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1

$\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von

1

$1$ .

\sin (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) = 0

$\sin (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere

\sin (x)

$\sin (x)$ und

0

$0$ .

\sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0

$\sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

\sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0

$\sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

\sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0

$\sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere

\sin (x)

$\sin (x)$ aus

\sin (x) - 2 \sin^{2} (x)

$\sin (x) - 2 \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere

\sin (x)

$\sin (x)$ aus

\sin^{1} (x)

$\sin^{1} (x)$ heraus.

\sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0

$\sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere

\sin (x)

$\sin (x)$ aus

- 2 \sin^{2} (x)

$- 2 \sin^{2} (x)$ heraus.

\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin (x)) = 0

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere

\sin (x)

$\sin (x)$ aus

\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin (x))

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin (x))$ heraus.

\sin (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0

$\sin (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

\sin (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0

$\sin (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

1 - 2 \sin (x) = 0

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5

Setze

\sin (x)

$\sin (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

\sin (x)

$\sin (x)$ gleich

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ ist

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

x = π - 0

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere

0

$0$ von

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von

\sin (x)

$\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion

\sin (x)

$\sin (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 6

Setze

1 - 2 \sin (x)

$1 - 2 \sin (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze

1 - 2 \sin (x)

$1 - 2 \sin (x)$ gleich

0

$0$ .

1 - 2 \sin (x) = 0

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse

1 - 2 \sin (x) = 0

$1 - 2 \sin (x) = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 2 \sin (x) = - 1

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in

- 2 \sin (x) = - 1

$- 2 \sin (x) = - 1$ durch

- 2

$- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

- 2 \sin (x) = - 1

$- 2 \sin (x) = - 1$ durch

- 2

$- 2$ .

\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

- 2

$- 2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere

\sin (x)

$\sin (x)$ durch

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

x = \arcsin (\frac{1}{2})

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von

\arcsin (\frac{1}{2})

$\arcsin (\frac{1}{2})$ ist

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.2.6.1

π

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.2.1

Kombiniere

π

$π$ und

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.3.1

Bringe

6

$6$ auf die linke Seite von

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 6.2.6.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von

\sin (x)

$\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion

\sin (x)

$\sin (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

\sin (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0

$\sin (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ wahr machen.

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 8

Führe

2 π n

$2 π n$ und

π + 2 π n

$π + 2 π n$ zu

π n

$π n$ zusammen.

x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$