Trigonometrie Beispiele

Finde alle komplexen Lösungen sin(x)+cos(2x)=1
Schritt 1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Vereinfache die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 2.1
Wende die Doppelwinkelfunktion an, um nach zu transformieren.
Schritt 2.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.2
Addiere und .
Schritt 3
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.1
Setze gleich .
Schritt 5.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.2.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 5.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.2.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 5.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 5.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 5.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 5.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 5.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 5.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 6.1
Setze gleich .
Schritt 6.2
Löse nach auf.
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Schritt 6.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 6.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 6.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.2.2.3.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.2.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 6.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 6.2.5
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 6.2.6
Vereinfache .
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Schritt 6.2.6.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 6.2.6.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 6.2.6.2.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2.6.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.2.6.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.2.6.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.2.6.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 6.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 6.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 6.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 6.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 6.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 8
Führe und zu zusammen.
, für jede Ganzzahl