Trigonometrie Beispiele

(6 \sqrt{3}, 6)

$(6 \sqrt{3}, 6)$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten

(x, y)

$(x, y)$ in Polarkoordinaten

(r, θ)

$(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze

x

$x$ und

y

$y$ durch die tatsächlichen Werte.

r = \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} + {(6)}^{2}}

$r = \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} + {(6)}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf

6 \sqrt{3}

$6 \sqrt{3}$ an.

r = \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(6)}^{2}}

$r = \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(6)}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} + {(6)}^{2}}

$r = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} + {(6)}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

r = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} + {(6)}^{2}}

$r = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} + {(6)}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

r = \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(6)}^{2}}

$r = \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(6)}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

r = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(6)}^{2}}

$r = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(6)}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

r = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6)}^{2}}

$r = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6)}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{36 \cdot 3 + {(6)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{36 \cdot 3 + {(6)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{36 \cdot 3 + {(6)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{36 \cdot 3 + {(6)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere

$36$ mit

$3$ .

$r = \sqrt{108 + {(6)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Potenziere

$6$ mit

$2$ .

$r = \sqrt{108 + 36}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Addiere

$108$ und

$36$ .

$r = \sqrt{144}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.4

Schreibe

$144$ als

$12^{2}$ um.

$r = \sqrt{12^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 12$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 12$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 12$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze

$x$ und

$y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 12$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{6}{6 \sqrt{3}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ist

$θ = 30 °$ .

$r = 12$

$θ = 30 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in

$(r, θ)$ -Form.

$(12, 30 °)$