Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{4} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{18}{4} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$r = \sqrt{\frac{2 (9)}{4} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{18}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 3.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{2 (9)}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{9 + 9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.4.2

Addiere $9$ und $9$ .

$r = \sqrt{\frac{18}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.4.3

Dividiere $18$ durch $2$ .

$r = \sqrt{9}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.4.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2}}{- \frac{3 \sqrt{2}}{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- 1$ ist $θ = 135 °$ .

$r = 3$

$θ = 135 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(3, 135 °)$