Trigonometrie Beispiele

$x^{2} - 9 y^{2} = 900$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $900$ durch $- 9$ .

$y^{2} = - 100 + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = - 100 + \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ als ${(\frac{x}{3})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 100 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 10^{2} + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Stelle $- 10^{2}$ und ${(\frac{x}{3})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 10^{2}}$

Schritt 4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{3}$ und $b = 10$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10) (\frac{x}{3} - 10)}$

Schritt 4.5

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Schritt 4.6

Kombiniere $10$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 10 \cdot 3}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Schritt 4.9

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 4.10

Kombiniere $- 10$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}$

Schritt 4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 10 \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 30}{3}}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $\frac{x + 30}{3}$ mit $\frac{x - 30}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))$ um.

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Schritt 4.15.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 30) (x - 30)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{9}}$

Schritt 4.15.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.15.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))}$

Schritt 4.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(x + 30) (x - 30)}$

Schritt 4.17

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 30 = 0$

$x - 30 = 0$

Schritt 7.2

Setze $x + 30$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x + 30$ gleich $0$ .

$x + 30 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 30$

Schritt 7.3

Setze $x - 30$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x - 30$ gleich $0$ .

$x - 30 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $30$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 30$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 30) (x - 30) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 30, 30$

Schritt 7.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 30$

$- 30 < x < 30$

$x > 30$

Schritt 7.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 30$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 30$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 32$

Schritt 7.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 32$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 32) + 30) ((- 32) - 30) \geq 0$

Schritt 7.6.1.3

Die linke Seite $124$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 30 < x < 30$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 30 < x < 30$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 30) ((0) - 30) \geq 0$

Schritt 7.6.2.3

Die linke Seite $- 900$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 30$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 30$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 32$

Schritt 7.6.3.2

Ersetze $x$ durch $32$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((32) + 30) ((32) - 30) \geq 0$

Schritt 7.6.3.3

Die linke Seite $124$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 30$ Wahr

$- 30 < x < 30$ Falsch

$x > 30$ Wahr

$x < - 30$ Wahr

$- 30 < x < 30$ Falsch

$x > 30$ Wahr

Schritt 7.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 30$ oder $x \geq 30$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 30] \cup [30, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Schritt 9

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 30] \cup [30, \infty), {x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 11