Trigonometrie Beispiele

$y = \tan (\frac{3 π}{4} θ)$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{3 π}{4}$ und $x$ .

$y = \tan (\frac{3 π x}{4})$

Schritt 2

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{3 π x}{4})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \tan (\frac{3 π x}{4})$ auftritt.

$\frac{3 π x}{4} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π x}{4} = \frac{4}{3 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π x}{4}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π x}{4} = \frac{4}{3 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 π} (3 π x) = \frac{4}{3 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 π$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3 π$ aus $3 π x$ heraus.

$\frac{1}{3 π} (3 π (x)) = \frac{4}{3 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 π} (3 π x) = \frac{4}{3 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{3 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{3 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3 π} (- π)$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{2}{π \cdot 3} (- π)$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{2}{π \cdot 3} (π \cdot - 1)$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π \cdot 3} (π \cdot - 1)$

Schritt 3.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$x = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{3 π x}{4}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π x}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π x}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π x}{4}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π x}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 π} (3 π x) = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 π$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3 π$ aus $3 π x$ heraus.

$\frac{1}{3 π} (3 π (x)) = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 π} (3 π x) = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3 π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3 π} π$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{2}{π \cdot 3} π$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π \cdot 3} π$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für $y = \tan (\frac{3 π x}{4})$ tritt auf bei $(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ , wobei $- \frac{2}{3}$ und $\frac{2}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Schritt 7

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 7.1

$\frac{3 π}{4}$ ist ungefähr $2.35619449$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{3 π}{4}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{4}{3 π}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$π \frac{4}{π \cdot 3}$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{4}{π \cdot 3}$

Schritt 7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3}$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (\frac{3 π x}{4})$ treten auf bei $- \frac{2}{3}$ , $\frac{2}{3}$ und aller $\frac{4 n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{2}{3} + \frac{4 n}{3}$

Schritt 9

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{2}{3} + \frac{4 n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10