Trigonometrie Beispiele

$(- \sqrt{3}, 3)$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{3 + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{3 + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(3)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{3 + 9}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ und $9$ .

$r = \sqrt{12}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{12}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$r = \sqrt{4 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = 2 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 2 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 2 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{3}{- \sqrt{3}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- \sqrt{3}$ ist $θ = 120 °$ .

$r = 2 \sqrt{3}$

$θ = 120 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(2 \sqrt{3}, 120 °)$