Trigonometrie Beispiele

Finde alle komplexen Lösungen cos(theta)-tan(theta)cos(theta)=0
Schritt 1
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.1
Setze gleich .
Schritt 3.2
Löse nach auf.
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Schritt 3.2.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.2.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 3.2.4
Vereinfache .
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Schritt 3.2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.2.4.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 3.2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 3.2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.2.4.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 3.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 3.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 3.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 3.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 3.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 3.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 4.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 4.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4.2.3
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 4.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.5
Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.
Schritt 4.2.6
Vereinfache .
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Schritt 4.2.6.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.2.6.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 4.2.6.2.1
Kombiniere und .
Schritt 4.2.6.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.6.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.6.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 4.2.6.3.2
Addiere und .
Schritt 4.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 4.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 4.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 4.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 4.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl