Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = \frac{3}{4}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

Ankathete

$= \sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

Ankathete

$= \sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$9$ .

Ankathete

$= \sqrt{16 - 9}$

Schritt 4.4

Subtrahiere

$9$ von

$16$ .

Ankathete

$= \sqrt{7}$

Ankathete

$= \sqrt{7}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von

$\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von

$\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{3}{\sqrt{7}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von

$\tan (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere

$\frac{3}{\sqrt{7}}$ mit

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere

$\frac{3}{\sqrt{7}}$ mit

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere

$\sqrt{7}$ mit

$1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere

$\sqrt{7}$ mit

$1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe

${\sqrt{7}}^{2}$ als

$7$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{7}$ als

$7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von

$\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von

$\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{7}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von

$\sec (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere

$\frac{4}{\sqrt{7}}$ mit

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere

$\frac{4}{\sqrt{7}}$ mit

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere

$\sqrt{7}$ mit

$1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere

$\sqrt{7}$ mit

$1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe

${\sqrt{7}}^{2}$ als

$7$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{7}$ als

$7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von

$\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{4}{3}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{3}{4}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

$\csc (θ) = \frac{4}{3}$