Trigonometrie Beispiele

${(5 (\cos (80 °) + i \sin (80 °)))}^{3}$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

${(5 \cos (80 °) + 5 (i \sin (80 °)))}^{3}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(5 \cos (80 °))}^{3} + 3 {(5 \cos (80 °))}^{2} (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \cos (80 °)$ an.

$5^{3} \cos^{3} (80 °) + 3 {(5 \cos (80 °))}^{2} (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 {(5 \cos (80 °))}^{2} (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.3

Wende die Produktregel auf $5 \cos (80 °)$ an.

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{2} \cos^{2} (80 °)) (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $5^{2}$ mit $5$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1

Bewege $5$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5 \cdot 5^{2} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $5^{2}$ .

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Schritt 3.1.4.2.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{1} \cdot 5^{2} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{1 + 2} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{3} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (125 \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $125$ mit $3$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.8.1

Wende die Produktregel auf $5 i \sin (80 °)$ an.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) ({(5 i)}^{2} \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.8.2

Wende die Produktregel auf $5 i$ an.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (5^{2} i^{2} \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.9

Potenziere $5$ mit $2$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (25 i^{2} \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (25 \cdot - 1 \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.11

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (- 25 \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.12

Mutltipliziere $- 25$ mit $15$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

Schritt 3.1.13

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.13.1

Wende die Produktregel auf $5 i \sin (80 °)$ an.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + {(5 i)}^{3} \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.1.13.2

Wende die Produktregel auf $5 i$ an.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 5^{3} i^{3} \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.1.14

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 i^{3} \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 (- i) \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $125$ .

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Stelle die Faktoren in $125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$ um.

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 i \cos^{2} (80 °) \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$

Schritt 3.2.2

Stelle $125 \cos^{3} (80 °) + 375 i \cos^{2} (80 °) \sin (80 °)$ und $- 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °)$ um.

$- 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 \cos^{3} (80 °) + 375 i \cos^{2} (80 °) \sin (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$