Trigonometrie Beispiele

$9 \frac{\cot^{2} (θ)}{\csc (θ)} \sec^{2} (θ) = 9 \tan (θ) \cos (θ) \csc^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$9 \frac{\cot^{2} (θ)}{\csc (θ)} \sec^{2} (θ)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$9 \frac{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}{\csc (θ)} \sec^{2} (θ)$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (θ)$ an.

$9 \frac{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}{\frac{1}{\sin (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Schritt 2.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (θ)$ an.

$9 \frac{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}{\frac{1}{\sin (θ)}} {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ an.

$9 \frac{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}{\frac{1}{\sin (θ)}} {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}$

Schritt 2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (θ)}$ an.

$9 \frac{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}{\frac{1}{\sin (θ)}} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 \frac{\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}}{\frac{1}{\sin (θ)}} \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$9 (\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \sin (θ)) \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus ${\sin (θ)}^{2}$ heraus.

$9 (\frac{{\cos (θ)}^{2}}{\sin (θ) \sin (θ)} \sin (θ)) \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{{\cos (θ)}^{2}}{\sin (θ) \sin (θ)} \sin (θ)) \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{{\cos (θ)}^{2}}{\sin (θ)} \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $9$ und $\frac{{\cos (θ)}^{2}}{\sin (θ)}$ .

$\frac{9 {\cos (θ)}^{2}}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kombinieren.

$\frac{9 {\cos (θ)}^{2} \cdot 1}{\sin (θ) {\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (θ)}^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 {\cos (θ)}^{2} \cdot 1}{\sin (θ) {\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \cdot 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{9}{\sin (θ)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{9}{\sin (θ)}$ als $9 \tan (θ) \cos (θ) \csc^{2} (θ)$ um.

$9 \tan (θ) \cos (θ) \csc^{2} (θ)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$9 (\frac{\cot^{2} (θ)}{\csc (θ)}) \cdot \sec^{2} (θ) = 9 \tan (θ) \cos (θ) \csc^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung