Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)} = \sin^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}}{\sec^{2} (θ)}$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (θ)$ an.

$\frac{{(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}}{{(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ an.

$\frac{\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}}{{(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (θ)}$ an.

$\frac{\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (θ)}^{2}}{1^{2}}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2} \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (θ)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2} \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{1^{2}}$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{1}$

Schritt 4.5

Dividiere ${\sin (θ)}^{2}$ durch $1$ .

$\sin^{2} (θ)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1}{\sec^{2} (θ)} = \sin^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung