Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$ , $\tan (θ)$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete $= \sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - 1}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

Ankathete $= \sqrt{3}$

Schritt 5

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$\tan (θ) = 0.57735026 \dots$