Trigonometrie Beispiele

f (x) = 2 \sin (x)

$f (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze

0

$0$ für

y

$y$ ein und löse nach

x

$x$ auf.

0 = 2 \sin (x)

$0 = 2 \sin (x)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als

2 \sin (x) = 0

$2 \sin (x) = 0$ um.

2 \sin (x) = 0

$2 \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 \sin (x) = 0

$2 \sin (x) = 0$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 \sin (x) = 0

$2 \sin (x) = 0$ durch

2

$2$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere

\sin (x)

$\sin (x)$ durch

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{0}{2}

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

\sin (x) = \frac{0}{2}

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

\sin (x) = \frac{0}{2}

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere

0

$0$ durch

2

$2$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ ist

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

x = π - 0

$x = π - 0$

Schritt 1.2.6

Subtrahiere

0

$0$ von

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von

\sin (x)

$\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.7.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion

\sin (x)

$\sin (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

x = π n

$x = π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

x = π n

$x = π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse:

(π n, 0)

$(π n, 0)$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse:

(π n, 0)

$(π n, 0)$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze

0

$0$ für

x

$x$ ein und löse nach

y

$y$ auf.

y = 2 \sin (0)

$y = 2 \sin (0)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

y = 2 \sin (0)

$y = 2 \sin (0)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache

2 \sin (0)

$2 \sin (0)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Der genau Wert von

\sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

y = 2 \cdot 0

$y = 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse:

(0, 0)

$(0, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse:

(0, 0)

$(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse:

(π n, 0)

$(π n, 0)$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse:

(0, 0)

$(0, 0)$

Schritt 4