Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arccos (π y)$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

Schritt 2.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Schritt 2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $(x + 3) \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

Schritt 2.5.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

Schritt 2.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.1

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$π y = \cos (2 x + 6)$

Schritt 2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $π y = \cos (2 x + 6)$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π y = \cos (2 x + 6)$ durch $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arccos (π x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

Schritt 4.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Schritt 4.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arccos (π x) - 6 + 6$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $\arccos (π x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

Schritt 4.2.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Schritt 4.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

Schritt 4.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arccos (\cos (2 x + 6))$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$