Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 5

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Schritt 6.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Schritt 6.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Schritt 6.1.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

Schritt 6.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

Schritt 6.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

Schritt 6.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $- (4 \cdot 5)$ .

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

Schritt 6.1.6

Subtrahiere $20$ von $36$ .

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4}{6}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{6}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3}$

Schritt 7