Trigonometrie Beispiele

${(x - y)}^{4}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x - y)}^{4}$ gilt $n = 4$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $5$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $- y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{4}$ mit $1$ .

${(x)}^{4} {(- y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x^{4} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 1)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(- y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{4} + 4 x^{3} (- y) + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + 4 \cdot - 1 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 \cdot 1 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x {(- y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.17

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.18

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 \cdot - 1 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + {(x)}^{0} {(- y)}^{4}$

Schritt 4.21

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + 1 {(- y)}^{4}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(- y)}^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + {(- y)}^{4}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + {(- 1)}^{4} y^{4}$

Schritt 4.24

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + 1 y^{4}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + y^{4}$