Trigonometrie Beispiele

$y = 6 \tan (\frac{x}{2}) - 3$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 6 \tan (\frac{x}{2}) - 3$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $6 \tan (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ um.

$6 \tan (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 \tan (\frac{x}{2}) = 3$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 \tan (\frac{x}{2}) = 3$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \tan (\frac{x}{2}) = 3$ durch $6$ .

$\frac{6 \tan (\frac{x}{2})}{6} = \frac{3}{6}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \tan (\frac{x}{2})}{6} = \frac{3}{6}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\tan (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{3}{6}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{3 (1)}{6}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arctan (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Berechne $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 0.4636476$

Schritt 1.2.6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.4636476$

Schritt 1.2.7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.4636476$

Schritt 1.2.7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 0.4636476$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.4636476$ .

$x = 0.92729521$

Schritt 1.2.8

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) + 0.4636476$

Schritt 1.2.9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 0.4636476)$

Schritt 1.2.9.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.9.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.9.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 0.4636476)$

Schritt 1.2.9.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 ((3.14159265) + 0.4636476)$

Schritt 1.2.9.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.9.2.2.1

Vereinfache $2 ((3.14159265) + 0.4636476)$ .

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Schritt 1.2.9.2.2.1.1

Addiere $3.14159265$ und $0.4636476$ .

$x = 2 \cdot 3.60524026$

Schritt 1.2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3.60524026$ .

$x = 7.21048052$

Schritt 1.2.10

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 1.2.10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.10.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 1.2.10.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 1.2.11

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.92729521 + 2 π n, 7.21048052 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.12

Führe $0.92729521 + 2 π n$ und $7.21048052 + 2 π n$ zu $0.92729521 + 2 π n$ zusammen.

$x = 0.92729521 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0.92729521 + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 6 \tan (\frac{0}{2}) - 3$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 6 \tan (\frac{0}{2}) - 3$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $6 \tan (\frac{0}{2}) - 3$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = 6 \tan (0) - 3$

Schritt 2.2.2.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$y = 6 \cdot 0 - 3$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$y = 0 - 3$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0.92729521 + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 4