Trigonometrie Beispiele

Löse im Intervall sin(2x)-2cos(x)=0 , (0,2pi)
,
Schritt 1
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.
Schritt 2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 4.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 4.2.4
Vereinfache .
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Schritt 4.2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.2.4.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 4.2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 4.2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 4.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 4.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 4.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 4.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.1
Setze gleich .
Schritt 5.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.2.2
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.2.3.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.2.4
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 5.2.5
Vereinfache .
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Schritt 5.2.5.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 5.2.5.2
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.5.2.1
Kombiniere und .
Schritt 5.2.5.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.2.5.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 5.2.5.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.2.5.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.6
Ermittele die Periode von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.6.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 5.2.6.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 5.2.6.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 5.2.6.4
Dividiere durch .
Schritt 5.2.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 7
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 8
Bestimme die Werte von , die einen Wert innerhalb des Intervalls ergeben.
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Schritt 8.1
Setze für ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in enthalten ist.
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Schritt 8.1.1
Setze für ein.
Schritt 8.1.2
Vereinfache.
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Schritt 8.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.1.2.2
Addiere und .
Schritt 8.1.3
Das Intervall enthält .
Schritt 8.2
Setze für ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in enthalten ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Setze für ein.
Schritt 8.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 8.2.2.3
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.3.1
Kombiniere und .
Schritt 8.2.2.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 8.2.2.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.2.4.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 8.2.2.4.2
Addiere und .
Schritt 8.2.3
Das Intervall enthält .