Trigonometrie Beispiele

$x^{3} + 8 i = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $8 i$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 8 i$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Schritt 5.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 8$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Schritt 7

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 9

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$x^{3} = 8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$