Trigonometrie Beispiele

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$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 8 \\ c = & 10 \\ a = & 6 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - {(6)}^{2}}{2 (8) (10)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere

$8$ mit

$2$ .

$A = \arccos (\frac{64 + 10^{2} - 6^{2}}{2 (8) \cdot 10})$

Schritt 4.1.2

Potenziere

$10$ mit

$2$ .

$A = \arccos (\frac{64 + 100 - 6^{2}}{2 (8) \cdot 10})$

Schritt 4.1.3

Potenziere

$6$ mit

$2$ .

$A = \arccos (\frac{64 + 100 - 1 \cdot 36}{2 (8) \cdot 10})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$36$ .

$A = \arccos (\frac{64 + 100 - 36}{2 (8) \cdot 10})$

Schritt 4.1.5

Addiere

$64$ und

$100$ .

$A = \arccos (\frac{164 - 36}{2 (8) \cdot 10})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere

$36$ von

$164$ .

$A = \arccos (\frac{128}{2 (8) \cdot 10})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$8$ .

$A = \arccos (\frac{128}{16 \cdot 10})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere

$16$ mit

$10$ .

$A = \arccos (\frac{128}{160})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$128$ und

$160$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere

$32$ aus

$128$ heraus.

$A = \arccos (\frac{32 (4)}{160})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere

$32$ aus

$160$ heraus.

$A = \arccos (\frac{32 \cdot 4}{32 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{32 \cdot 4}{32 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{4}{5})$

Schritt 4.4

Berechne

$\arccos (\frac{4}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(6)}^{2} + {(10)}^{2} - {(8)}^{2}}{2 (6) (10)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Potenziere

$6$ mit

$2$ .

$B = \arccos (\frac{36 + 10^{2} - 8^{2}}{2 (6) \cdot 10})$

Schritt 8.1.2

Potenziere

$10$ mit

$2$ .

$B = \arccos (\frac{36 + 100 - 8^{2}}{2 (6) \cdot 10})$

Schritt 8.1.3

Potenziere

$8$ mit

$2$ .

$B = \arccos (\frac{36 + 100 - 1 \cdot 64}{2 (6) \cdot 10})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$64$ .

$B = \arccos (\frac{36 + 100 - 64}{2 (6) \cdot 10})$

Schritt 8.1.5

Addiere

$36$ und

$100$ .

$B = \arccos (\frac{136 - 64}{2 (6) \cdot 10})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere

$64$ von

$136$ .

$B = \arccos (\frac{72}{2 (6) \cdot 10})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$6$ .

$B = \arccos (\frac{72}{12 \cdot 10})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere

$12$ mit

$10$ .

$B = \arccos (\frac{72}{120})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$72$ und

$120$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Faktorisiere

$24$ aus

$72$ heraus.

$B = \arccos (\frac{24 (3)}{120})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere

$24$ aus

$120$ heraus.

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 3}{24 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 3}{24 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{3}{5})$

Schritt 8.4

Berechne

$\arccos (\frac{3}{5})$ .

$B = 53.13010235$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist

$180$ Grad.

$36.86989764 + C + 53.13010235 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach

$C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Addiere

$36.86989764$ und

$53.13010235$ .

$C + 90 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht

$C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Subtrahiere

$90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 90$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere

$90$ von

$180$ .

$C = 90$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90$

$a = 6$

$b = 8$

$c = 10$