Trigonometrie Beispiele

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\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Ermittle

c

$c$ .

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Schritt 1.1

Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

\cos (B) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 1.2

Setze den Namen jeder Seite in die Definition der Kosinusfunktion ein.

\cos (B) = \frac{a}{c}

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

Schritt 1.3

Löse die Gleichung nach der Hypthenuse auf, in diesem Fall

c

$c$ .

c = \frac{a}{\cos (B)}

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

Schritt 1.4

Setze die Werte jeder Variablen in die Formel für den Kosinus ein.

c = \frac{3}{\cos (60)}

$c = \frac{3}{\cos (60)}$

Schritt 1.5

Der Wert von

\cos (60)

$\cos (60)$ ist

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

c = \frac{3}{\frac{1}{2}}

$c = \frac{3}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

c = 3 \cdot 2

$c = 3 \cdot 2$

Schritt 1.7

Mutltipliziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

Schritt 2

Berechne die übrig gebliebene Seite unter Anwendung des Satzes von Pythagoras.

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Schritt 2.1

Wende den Satz des Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu bestimmen. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates, dessen Seite die Hypotenuse (die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, deren Seiten die beiden Schenkel sind (die zwei Seiten, die nicht die Hypotenuse sind).

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach

b

$b$ auf.

b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

Schritt 2.3

Setze die tatsächlichen Werte in die Gleichung ein.

b = \sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}

$b = \sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

b = \sqrt{36 - {(3)}^{2}}

$b = \sqrt{36 - {(3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

b = \sqrt{36 - 1 \cdot 9}

$b = \sqrt{36 - 1 \cdot 9}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

9

$9$ .

b = \sqrt{36 - 9}

$b = \sqrt{36 - 9}$

Schritt 2.7

Subtrahiere

9

$9$ von

36

$36$ .

b = \sqrt{27}

$b = \sqrt{27}$

Schritt 2.8

Schreibe

27

$27$ als

3^{2} \cdot 3

$3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere

9

$9$ aus

27

$27$ heraus.

b = \sqrt{9 (3)}

$b = \sqrt{9 (3)}$

Schritt 2.8.2

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

b = \sqrt{3^{2} \cdot 3}

$b = \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

b = \sqrt{3^{2} \cdot 3}

$b = \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Schritt 2.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

b = 3 \sqrt{3}

$b = 3 \sqrt{3}$

b = 3 \sqrt{3}

$b = 3 \sqrt{3}$

Schritt 3

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

A = 30

$A = 30$

B = 60

$B = 60$

C = 90

$C = 90$

a = 3

$a = 3$

b = 3 \sqrt{3}

$b = 3 \sqrt{3}$

c = 6

$c = 6$