Trigonometrie Beispiele

Löse durch Faktorisieren 2cos(x)^2+sin(x)=1
Schritt 1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Vereinfache .
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Schritt 2.1
Bewege .
Schritt 2.2
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.
Schritt 3
Wende die Doppelwinkelfunktion an, um nach zu transformieren.
Schritt 4
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 4.1
Stelle die Terme um.
Schritt 4.2
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 4.2.1
Multipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Schreibe um als plus
Schritt 4.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.3
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 4.3.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 4.3.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 4.4
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 5
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 6.1
Setze gleich .
Schritt 6.2
Löse nach auf.
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Schritt 6.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 6.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 6.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6.2.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 6.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 6.2.5
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 6.2.6
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 6.2.6.1
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.6.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 6.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 6.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 6.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 6.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 6.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 6.2.8
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
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Schritt 6.2.8.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 6.2.8.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 6.2.8.3
Kombiniere Brüche.
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Schritt 6.2.8.3.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2.8.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.2.8.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.2.8.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.8.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.8.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 6.2.9
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 7
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 7.1
Setze gleich .
Schritt 7.2
Löse nach auf.
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Schritt 7.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 7.2.2
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 7.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.2.3.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.2.4
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 7.2.5
Vereinfache .
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Schritt 7.2.5.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 7.2.5.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 7.2.5.2.1
Kombiniere und .
Schritt 7.2.5.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.2.5.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 7.2.5.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 7.2.5.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.6
Ermittele die Periode von .
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Schritt 7.2.6.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 7.2.6.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 7.2.6.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 7.2.6.4
Dividiere durch .
Schritt 7.2.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 8
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 9
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl