Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (x) + \sin (x) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 \cos^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

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Schritt 2.1

Bewege $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x) + \sin (x) = 0$

Schritt 3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$- 2 \sin^{2} (x) + (- 1 + 2) \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - 1) - (- 2 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 \sin (x) - 1$ .

$(- 2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $- 2 \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $- 2 \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $- 2 \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 6.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 6.2.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 6.2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 6.2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 6.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 7.2.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- 2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$