Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Multipliziere jeden Term mit einem Teiler von $1$ , der alle Nenner gleich macht. In diesem Fall benötigen alle Terme einen Nenner $2$ .

$\sin (θ) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Multipliziere den Ausdruck mit einem Faktor von $1$ , um den Hauptnenner von $2$ zu erhalten.

$\sin (θ) \cdot 2$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (θ)$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Schritt 4.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\sin (θ) \cdot 1 = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 8.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 10.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 10.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 10.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 10.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$