Trigonometrie Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = & 13 \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(5)}^{2} + {(13)}^{2} - {(12)}^{2}}{2 (5) (13)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 13^{2} - 12^{2}}{2 (5) \cdot 13})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $13$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 169 - 12^{2}}{2 (5) \cdot 13})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $12$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 169 - 1 \cdot 144}{2 (5) \cdot 13})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 169 - 144}{2 (5) \cdot 13})$

Schritt 4.1.5

Addiere $25$ und $169$ .

$A = \arccos (\frac{194 - 144}{2 (5) \cdot 13})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $144$ von $194$ .

$A = \arccos (\frac{50}{2 (5) \cdot 13})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$A = \arccos (\frac{50}{10 \cdot 13})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $13$ .

$A = \arccos (\frac{50}{130})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $130$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $10$ aus $50$ heraus.

$A = \arccos (\frac{10 (5)}{130})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $130$ heraus.

$A = \arccos (\frac{10 \cdot 5}{10 \cdot 13})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{10 \cdot 5}{10 \cdot 13})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{5}{13})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{5}{13})$ .

$A = 67.38013505$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(12)}^{2} + {(13)}^{2} - {(5)}^{2}}{2 (12) (13)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 13^{2} - 5^{2}}{2 (12) \cdot 13})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $13$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 169 - 5^{2}}{2 (12) \cdot 13})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 169 - 1 \cdot 25}{2 (12) \cdot 13})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$B = \arccos (\frac{144 + 169 - 25}{2 (12) \cdot 13})$

Schritt 8.1.5

Addiere $144$ und $169$ .

$B = \arccos (\frac{313 - 25}{2 (12) \cdot 13})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $25$ von $313$ .

$B = \arccos (\frac{288}{2 (12) \cdot 13})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$B = \arccos (\frac{288}{24 \cdot 13})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $13$ .

$B = \arccos (\frac{288}{312})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $288$ und $312$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $24$ aus $288$ heraus.

$B = \arccos (\frac{24 (12)}{312})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $24$ aus $312$ heraus.

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 12}{24 \cdot 13})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 12}{24 \cdot 13})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{12}{13})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{12}{13})$ .

$B = 22.61986494$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$67.38013505 + C + 22.61986494 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $67.38013505$ und $22.61986494$ .

$C + 90 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 90$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$C = 90$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 67.38013505$

$B = 22.61986494$

$C = 90$

$a = 12$

$b = 5$

$c = 13$