Trigonometrie Beispiele

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 4 c = & 5 a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = & 5 \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

A = arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

A = arccos (\frac{{(4)}^{2} + {(5)}^{2} - {(3)}^{2}}{2 (4) (5)})

$A = \arccos (\frac{{(4)}^{2} + {(5)}^{2} - {(3)}^{2}}{2 (4) (5)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

A = arccos (\frac{16 + 5^{2} - 3^{2}}{2 (4) \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{16 + 5^{2} - 3^{2}}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.2

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

A = arccos (\frac{16 + 25 - 3^{2}}{2 (4) \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{16 + 25 - 3^{2}}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.3

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

A = arccos (\frac{16 + 25 - 1 \cdot 9}{2 (4) \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{16 + 25 - 1 \cdot 9}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

9

$9$ .

A = arccos (\frac{16 + 25 - 9}{2 (4) \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{16 + 25 - 9}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.5

Addiere

16

$16$ und

25

$25$ .

A = arccos (\frac{41 - 9}{2 (4) \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{41 - 9}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere

9

$9$ von

41

$41$ .

A = arccos (\frac{32}{2 (4) \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{32}{2 (4) \cdot 5})$

A = arccos (\frac{32}{2 (4) \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{32}{2 (4) \cdot 5})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

4

$4$ .

A = arccos (\frac{32}{8 \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{32}{8 \cdot 5})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere

8

$8$ mit

5

$5$ .

A = arccos (\frac{32}{40})

$A = \arccos (\frac{32}{40})$

A = arccos (\frac{32}{40})

$A = \arccos (\frac{32}{40})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

32

$32$ und

40

$40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere

8

$8$ aus

32

$32$ heraus.

A = arccos (\frac{8 (4)}{40})

$A = \arccos (\frac{8 (4)}{40})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere

8

$8$ aus

40

$40$ heraus.

A = arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 \cdot 5})

$A = \arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 \cdot 5})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{4}{5})$

Schritt 4.4

Berechne

$\arccos (\frac{4}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(3)}^{2} + {(5)}^{2} - {(4)}^{2}}{2 (3) (5)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 5^{2} - 4^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.2

Potenziere

$5$ mit

$2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 4^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.3

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 1 \cdot 16}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$16$ .

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 16}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.5

Addiere

$9$ und

$25$ .

$B = \arccos (\frac{34 - 16}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere

$16$ von

$34$ .

$B = \arccos (\frac{18}{2 (3) \cdot 5})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$B = \arccos (\frac{18}{6 \cdot 5})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere

$6$ mit

$5$ .

$B = \arccos (\frac{18}{30})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$18$ und

$30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Faktorisiere

$6$ aus

$18$ heraus.

$B = \arccos (\frac{6 (3)}{30})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere

$6$ aus

$30$ heraus.

$B = \arccos (\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 5})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{3}{5})$

Schritt 8.4

Berechne

$\arccos (\frac{3}{5})$ .

$B = 53.13010235$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist

$180$ Grad.

$36.86989764 + C + 53.13010235 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach

$C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Addiere

$36.86989764$ und

$53.13010235$ .

$C + 90 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht

$C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Subtrahiere

$90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 90$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere

$90$ von

$180$ .

$C = 90$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90$

$a = 3$

$b = 4$

$c = 5$