Trigonometrie Beispiele

$r = 10 \sin (θ)$

Schritt 1

Da $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ ist, ersetze $\sin (θ)$ durch $\frac{y}{r}$ .

$r = 10 \frac{y}{r}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

$r \cdot r = r (10 \frac{y}{r})$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} = r (10 \frac{y}{r})$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $r (10 \frac{y}{r})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{2} = 10 r \frac{y}{r}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $r$ aus $10 r$ heraus.

$r^{2} = r \cdot 10 \frac{y}{r}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = r \cdot 10 \frac{y}{r}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = 10 y$

Schritt 3

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 10 y$

Schritt 4

Schreibe in der Standardform.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $10 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$

Schritt 4.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 10 y$ an.

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Schritt 4.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Schritt 4.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{1}$

Schritt 4.2.3.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$d = - 5$

Schritt 4.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Schritt 4.2.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Schritt 4.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$e = 0 - 25$

Schritt 4.2.4.2.2

Subtrahiere $25$ von $0$ .

$e = - 25$

Schritt 4.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 5)}^{2} - 25$ ein.

${(y - 5)}^{2} - 25$

Schritt 4.3

Setze ${(y - 5)}^{2} - 25$ für $y^{2} - 10 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ .

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} - 25 = 0$

Schritt 4.4

Bringe $- 25$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $25$ auf beiden Seiten.

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 0 + 25$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $25$ .

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$