Trigonometrie Beispiele

v ({(410 + 140 \sqrt{2})}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v ({(410 + 140 \sqrt{2})}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe

{(410 + 140 \sqrt{2})}^{2}

${(410 + 140 \sqrt{2})}^{2}$ als

(410 + 140 \sqrt{2}) (410 + 140 \sqrt{2})

$(410 + 140 \sqrt{2}) (410 + 140 \sqrt{2})$ um.

v ((410 + 140 \sqrt{2}) (410 + 140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v ((410 + 140 \sqrt{2}) (410 + 140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.2

Multipliziere

(410 + 140 \sqrt{2}) (410 + 140 \sqrt{2})

$(410 + 140 \sqrt{2}) (410 + 140 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

v (410 (410 + 140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} (410 + 140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (410 (410 + 140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} (410 + 140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

v (410 \cdot 410 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} (410 + 140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (410 \cdot 410 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} (410 + 140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

v (410 \cdot 410 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (410 \cdot 410 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

v (410 \cdot 410 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (410 \cdot 410 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere

410

$410$ mit

410

$410$ .

v (168100 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 410 (140 \sqrt{2}) + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere

140

$140$ mit

410

$410$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 140 \sqrt{2} \cdot 410 + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere

410

$410$ mit

140

$140$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere

140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2})

$140 \sqrt{2} (140 \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere

140

$140$ mit

140

$140$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \sqrt{2} \sqrt{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \sqrt{2} \sqrt{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.4.2

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.4.3

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.4.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {\sqrt{2}}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {\sqrt{2}}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {\sqrt{2}}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {\sqrt{2}}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.5

Schreibe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ als

2

$2$ um.

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Schritt 1.3.1.5.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ als

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.5.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(140 \sqrt{2})}^{2})

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{1} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2 + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere

$19600$ mit

$2$ .

$v (168100 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + 39200 + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.2

Addiere

$168100$ und

$39200$ .

$v (207300 + 57400 \sqrt{2} + 57400 \sqrt{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.3.3

Addiere

$57400 \sqrt{2}$ und

$57400 \sqrt{2}$ .

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + {(140 \sqrt{2})}^{2})$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf

$140 \sqrt{2}$ an.

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 140^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Schritt 1.5

Potenziere

$140$ mit

$2$ .

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 19600 {\sqrt{2}}^{2})$

Schritt 1.6

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 1.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 19600 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Schritt 1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 1.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Schritt 1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2^{1})$

Schritt 1.6.5

Berechne den Exponenten.

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 19600 \cdot 2)$

Schritt 1.7

Mutltipliziere

$19600$ mit

$2$ .

$v (207300 + 114800 \sqrt{2} + 39200)$

Schritt 2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1

Addiere

$207300$ und

$39200$ .

$v (246500 + 114800 \sqrt{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$v \cdot 246500 + v (114800 \sqrt{2})$

Schritt 2.3

Bringe

$246500$ auf die linke Seite von

$v$ .

$246500 \cdot v + v (114800 \sqrt{2})$

Schritt 3

Bringe

$114800$ auf die linke Seite von

$v$ .

$246500 v + 114800 v \sqrt{2}$