Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2}$ als $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ um.

$\sqrt{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\sqrt{6} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\sqrt{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\sqrt{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{6 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{6 - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.9

Multipliziere $- 2 \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

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Schritt 3.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.10

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.10.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.10.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.13

Multipliziere $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.13.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.13.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.13.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.13.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.13.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.14

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.1.15

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 12 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Addiere $6$ und $12$ .

$\sqrt{18 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $6 \sqrt{2}$ von $- 6 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4

Schreibe ${(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}$ als $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ um.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Schritt 5

Multipliziere $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6})$ .

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \sqrt{6} \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.1.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.1.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 6.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $5 \sqrt{6} \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.1.5.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.8

Multipliziere $\sqrt{3} (5 \sqrt{6})$ .

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Schritt 6.1.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.9

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.1.9.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.9.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Schritt 6.1.13

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{9}}$

Schritt 6.1.14

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3^{2}}}$

Schritt 6.1.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + 3}$

Schritt 6.2

Addiere $150$ und $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Addiere $15 \sqrt{2}$ und $15 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 30 \sqrt{2}}$

Schritt 7

Addiere $18$ und $153$ .

$\sqrt{171 - 12 \sqrt{2} + 30 \sqrt{2}}$

Schritt 8

Addiere $- 12 \sqrt{2}$ und $30 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{171 + 18 \sqrt{2}}$

Schritt 9

Schreibe $171 + 18 \sqrt{2}$ als $3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})$ um.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $9$ aus $171$ heraus.

$\sqrt{9 (19) + 18 \sqrt{2}}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $9$ aus $18 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})$ heraus.

$\sqrt{9 (19 + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 9.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$14.01627069 \dots$