Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{{(50 \sqrt{2})}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $50 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{50^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.2

Potenziere $50$ mit $2$ .

$\sqrt{2500 {\sqrt{2}}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{2500 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2500 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2500 \cdot 2^{1} + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2500 \cdot 2 + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $2500$ mit $2$ .

$\sqrt{5000 + {(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe ${(400 + 50 \sqrt{2})}^{2}$ als $(400 + 50 \sqrt{2}) (400 + 50 \sqrt{2})$ um.

$\sqrt{5000 + (400 + 50 \sqrt{2}) (400 + 50 \sqrt{2})}$

Schritt 2

Multipliziere $(400 + 50 \sqrt{2}) (400 + 50 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{5000 + 400 (400 + 50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} (400 + 50 \sqrt{2})}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{5000 + 400 \cdot 400 + 400 (50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} (400 + 50 \sqrt{2})}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{5000 + 400 \cdot 400 + 400 (50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} \cdot 400 + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $400$ mit $400$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 400 (50 \sqrt{2}) + 50 \sqrt{2} \cdot 400 + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $50$ mit $400$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 50 \sqrt{2} \cdot 400 + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $400$ mit $50$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $50 \sqrt{2} (50 \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $50$ mit $50$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2^{1}}$

Schritt 3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 2500 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $2500$ mit $2$ .

$\sqrt{5000 + 160000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2} + 5000}$

Schritt 3.2

Addiere $160000$ und $5000$ .

$\sqrt{5000 + 165000 + 20000 \sqrt{2} + 20000 \sqrt{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $20000 \sqrt{2}$ und $20000 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{5000 + 165000 + 40000 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Addiere $5000$ und $165000$ .

$\sqrt{170000 + 40000 \sqrt{2}}$

Schritt 5

Schreibe $170000 + 40000 \sqrt{2}$ als $100^{2} (17 + 4 \sqrt{2})$ um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $10000$ aus $170000$ heraus.

$\sqrt{10000 (17) + 40000 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $10000$ aus $40000 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{10000 (17) + 10000 (4 \sqrt{2})}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $10000$ aus $10000 (17) + 10000 (4 \sqrt{2})$ heraus.

$\sqrt{10000 (17 + 4 \sqrt{2})}$

Schritt 5.4

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$\sqrt{100^{2} (17 + 4 \sqrt{2})}$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$100 \sqrt{17 + 4 \sqrt{2}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$100 \sqrt{17 + 4 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$475.99216642 \dots$