Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{{(45 \sqrt{2})}^{2} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $45 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{45^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.2

Potenziere $45$ mit $2$ .

$\sqrt{2025 {\sqrt{2}}^{2} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{2025 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2025 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2025 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2025 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2025 \cdot 2^{1} + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2025 \cdot 2 + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $2025$ mit $2$ .

$\sqrt{4050 + {(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe ${(650 + 45 \sqrt{2})}^{2}$ als $(650 + 45 \sqrt{2}) (650 + 45 \sqrt{2})$ um.

$\sqrt{4050 + (650 + 45 \sqrt{2}) (650 + 45 \sqrt{2})}$

Schritt 2

Multipliziere $(650 + 45 \sqrt{2}) (650 + 45 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{4050 + 650 (650 + 45 \sqrt{2}) + 45 \sqrt{2} (650 + 45 \sqrt{2})}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{4050 + 650 \cdot 650 + 650 (45 \sqrt{2}) + 45 \sqrt{2} (650 + 45 \sqrt{2})}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{4050 + 650 \cdot 650 + 650 (45 \sqrt{2}) + 45 \sqrt{2} \cdot 650 + 45 \sqrt{2} (45 \sqrt{2})}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $650$ mit $650$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 650 (45 \sqrt{2}) + 45 \sqrt{2} \cdot 650 + 45 \sqrt{2} (45 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $45$ mit $650$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 45 \sqrt{2} \cdot 650 + 45 \sqrt{2} (45 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $650$ mit $45$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 45 \sqrt{2} (45 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $45 \sqrt{2} (45 \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $45$ mit $45$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 \cdot 2^{1}}$

Schritt 3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 2025 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $2025$ mit $2$ .

$\sqrt{4050 + 422500 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2} + 4050}$

Schritt 3.2

Addiere $422500$ und $4050$ .

$\sqrt{4050 + 426550 + 29250 \sqrt{2} + 29250 \sqrt{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $29250 \sqrt{2}$ und $29250 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{4050 + 426550 + 58500 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Addiere $4050$ und $426550$ .

$\sqrt{430600 + 58500 \sqrt{2}}$

Schritt 5

Schreibe $430600 + 58500 \sqrt{2}$ als $10^{2} (4306 + 585 \sqrt{2})$ um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $100$ aus $430600$ heraus.

$\sqrt{100 (4306) + 58500 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $100$ aus $58500 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{100 (4306) + 100 (585 \sqrt{2})}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $100$ aus $100 (4306) + 100 (585 \sqrt{2})$ heraus.

$\sqrt{100 (4306 + 585 \sqrt{2})}$

Schritt 5.4

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\sqrt{10^{2} (4306 + 585 \sqrt{2})}$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$10 \sqrt{4306 + 585 \sqrt{2}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$10 \sqrt{4306 + 585 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$716.47155798 \dots$