Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{1 - (- \frac{5 \sqrt{61}}{61})}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Schritt 1

Multipliziere $- (- \frac{5 \sqrt{61}}{61})$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{61}}{61}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Schritt 2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{61}{61} + \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Schritt 4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{\frac{61}{61} - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{\frac{61 - 5 \sqrt{61}}{61}}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61} \cdot \frac{61}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $61$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61} \cdot \frac{61}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}$ mit $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}}$ .

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) (\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}} \cdot \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}})}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}$ mit $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}}$ .

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{(61 - 5 \sqrt{61}) (61 + 5 \sqrt{61})}}$

Schritt 10

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{3721 + 305 \sqrt{61} - 305 \sqrt{61} - 25 {\sqrt{61}}^{2}}}$

Schritt 11

Vereinfache.

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $61$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $61$ aus $2196$ heraus.

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 (36)} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 \cdot 36} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Schritt 14

Multipliziere $5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}$ .

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}$ und $5$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196} \sqrt{61}}$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196}$ und $\sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5 \sqrt{61}}{2196}}$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Gruppiere $\sqrt{61}$ und $61 + 5 \sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{\sqrt{61} (61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(\sqrt{61} \cdot 61 + \sqrt{61} (5 \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.3

Bringe $61$ auf die linke Seite von $\sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + \sqrt{61} (5 \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.4

Multipliziere $\sqrt{61} (5 \sqrt{61})$ .

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Schritt 15.4.1

Potenziere $\sqrt{61}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 ({\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.4.2

Potenziere $\sqrt{61}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 ({\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1})) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 {\sqrt{61}}^{1 + 1}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 {\sqrt{61}}^{2}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.5.1

Schreibe ${\sqrt{61}}^{2}$ als $61$ um.

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Schritt 15.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{61}$ als $61^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 {(61^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{1}) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $61$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 305) \cdot 5}{2196}}$

Schritt 15.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $61 \sqrt{61} + 305$ und $2196$ .

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Schritt 15.6.1

Faktorisiere $61$ aus $(61 \sqrt{61} + 305) \cdot 5$ heraus.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{2196}}$

Schritt 15.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.6.2.1

Faktorisiere $61$ aus $2196$ heraus.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{61 (36)}}$

Schritt 15.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{61 \cdot 36}}$

Schritt 15.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(\sqrt{61} + 5) \cdot 5}{36}}$

Schritt 15.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{61} + 5$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{5 (\sqrt{61} + 5)}{36}}$

Schritt 16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 (\sqrt{61} + 5)}{36}}$

Schritt 17

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61} + 5 \cdot 5}{36}}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61} + 25}{36}}$

Schritt 18

Vereinfache Terme.

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Schritt 18.1

Addiere $61$ und $25$ .

$\sqrt{\frac{86 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61}}{36}}$

Schritt 18.2

Addiere $5 \sqrt{61}$ und $5 \sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{86 + 10 \sqrt{61}}{36}}$

Schritt 18.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $86 + 10 \sqrt{61}$ und $36$ .

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Schritt 18.3.1

Faktorisiere $2$ aus $86$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (43) + 10 \sqrt{61}}{36}}$

Schritt 18.3.2

Faktorisiere $2$ aus $10 \sqrt{61}$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (43) + 2 (5 \sqrt{61})}{36}}$

Schritt 18.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (43) + 2 (5 \sqrt{61})$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{36}}$

Schritt 18.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{2 \cdot 18}}$

Schritt 18.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{2 \cdot 18}}$

Schritt 18.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{43 + 5 \sqrt{61}}{18}}$

Schritt 19

Schreibe $\sqrt{\frac{43 + 5 \sqrt{61}}{18}}$ als $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{18}}$ um.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{18}}$

Schritt 20

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 20.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 20.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{9 (2)}}$

Schritt 20.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}$

Schritt 20.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 21

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 22

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 22.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 22.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 22.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 22.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 22.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 22.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 22.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 22.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 22.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 22.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 22.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 22.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Schritt 22.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 23

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 24

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{6}$

Schritt 25

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{6}$

Dezimalform:

$2.13504161 \dots$