Trigonometrie Beispiele

$- \sqrt{\frac{1 - (- \frac{1}{\sqrt{2}})}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}}$

Schritt 7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}$

Schritt 7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}$

Schritt 7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}}$

Schritt 7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}$

Schritt 7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}$

Schritt 7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

Schritt 7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

Schritt 7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}}$

Schritt 7.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Schritt 12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Schritt 13

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 14

Vereinfache.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 15

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 17

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 18

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 18.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 18.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 18.4

Schreibe $\sqrt{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 18.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 18.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 20

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 20.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 20.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 20.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 20.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Schritt 20.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Schritt 20.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Schritt 20.6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Schritt 21

Vereinfache Terme.

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Schritt 21.1

Addiere $4$ und $2$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 21.2

Addiere $2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 21.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + 4 \sqrt{2}$ und $2$ .

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Schritt 21.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 21.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 21.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 21.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 21.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Schritt 21.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Schritt 21.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Schritt 21.3.4.4

Dividiere $3 + 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 22

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$- 2.41421356 \dots$