Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Schritt 1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Schritt 3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5 - \sqrt{11}}{5}}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{1}{5 - \sqrt{11}}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ mit $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) (\frac{1}{5 - \sqrt{11}} \cdot \frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}})}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ mit $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{(5 - \sqrt{11}) (5 + \sqrt{11})}}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{25 + 5 \sqrt{11} - 5 \sqrt{11} - {\sqrt{11}}^{2}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{5 \frac{5 + \sqrt{11}}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 8.5

Kombiniere $5$ und $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ .

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 8.6

Kombiniere $\sqrt{11}$ und $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ .

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \frac{\sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Schritt 8.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11}) + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 5 + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 9.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 9.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11 \cdot 11}}{14}}$

Schritt 9.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{121}}{14}}$

Schritt 9.6.2

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11^{2}}}{14}}$

Schritt 9.6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + 11}{14}}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Addiere $25$ und $11$ .

$\sqrt{\frac{36 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 10.2

Addiere $5 \sqrt{11}$ und $5 \sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{36 + 10 \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36 + 10 \sqrt{11}$ und $14$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (18) + 10 \sqrt{11}}{14}}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2$ aus $10 \sqrt{11}$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})}{14}}$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{14}}$

Schritt 10.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

Schritt 10.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

Schritt 10.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$

Schritt 11

Schreibe $\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$ als $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ um.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$

Schritt 12

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 13

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 13.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Schritt 13.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Schritt 13.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 13.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 13.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 13.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Schritt 13.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7}$

Schritt 14

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

Dezimalform:

$2.22271146 \dots$