Trigonometrie Beispiele

$\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{7 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{9 - 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $(7 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{4}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 \cdot 3 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{4}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 \cdot 3 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{21 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Schritt 4.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{4}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.1.4.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{4}$

Schritt 4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{4}$

Schritt 4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{1}}{4}$

Schritt 4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{4}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{21 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5}{4}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $5$ von $21$ .

$\frac{16 - 7 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{4}$

Schritt 4.3

Addiere $- 7 \sqrt{5}$ und $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{16 - 4 \sqrt{5}}{4}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16 - 4 \sqrt{5}$ und $4$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4 - 4 \sqrt{5}}{4}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5})}{4}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4) + 4 (- \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{4 (4 - \sqrt{5})}{4}$

Schritt 5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (4 - \sqrt{5})}{4 (1)}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (4 - \sqrt{5})}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 - \sqrt{5}}{1}$

Schritt 5.4.4

Dividiere $4 - \sqrt{5}$ durch $1$ .

$4 - \sqrt{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$4 - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$1.76393202 \dots$