Trigonometrie Beispiele

$v (\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$v \frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}})$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$v ((2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}))$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})})$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.6

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2})$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2})$

Schritt 7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2})$

Schritt 7.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2})$

Schritt 7.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2})$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2})$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2})$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2})$

Schritt 7.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)})$

Schritt 7.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1})$

Schritt 7.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Schritt 7.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1)$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Addiere $2$ und $1$ .

$v (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2})$

Schritt 8.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$v (3 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$v \cdot 3 + v (2 \sqrt{2})$

Schritt 8.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $v$ .

$3 \cdot v + v (2 \sqrt{2})$

Schritt 9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $v$ .

$3 v + 2 v \sqrt{2}$