Trigonometrie Beispiele

$\frac{5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 5 \sqrt{3}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 5 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - 5 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 5 \sqrt{3}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - 5 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 5 \sqrt{3}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 5 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - 5 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 5 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}) (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + 5 \sqrt{3}) (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}) (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3})}{{\sqrt{2}}^{2} - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}) (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 3

Multipliziere $(5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}) (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} (\sqrt{2} - 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $5 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 {\sqrt{2}}^{2} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \cdot 2^{1} + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 + 5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $5 \sqrt{2} (- 5 \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{10 - 25 \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{10 - 25 \sqrt{3 \cdot 2} - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{5} \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- 3 \sqrt{5} \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2 \cdot 5} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{10} - 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})}{- 73}$

Schritt 4.1.6

Multipliziere $- 3 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$\frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{10} + 15 \sqrt{5} \sqrt{3}}{- 73}$

Schritt 4.1.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{10} + 15 \sqrt{3 \cdot 5}}{- 73}$

Schritt 4.1.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{10} + 15 \sqrt{15}}{- 73}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{10} + 15 \sqrt{15}}{73}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{10 - 25 \sqrt{6} - 3 \sqrt{10} + 15 \sqrt{15}}{73}$

Dezimalform:

$0.03601816 \dots$