Trigonometrie Beispiele

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ mit $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}} \cdot \frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} - \sqrt{10}}$ mit $\frac{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{10 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{(10 \sqrt{2} - \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{100 {\sqrt{2}}^{2} + 10 \sqrt{20} - 10 \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Schritt 3

Multipliziere $(5 \sqrt{2} + \sqrt{10}) (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2} + \sqrt{10})}{190}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $5 \sqrt{2} (10 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$\frac{50 \sqrt{2} \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{50 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{50 {\sqrt{2}}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{50 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50 \cdot 2^{1} + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{50 \cdot 2 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $50$ mit $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{2} \sqrt{10} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $5 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{100 + 5 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{100 + 5 \sqrt{20} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{100 + 5 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{100 + 5 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{100 + 5 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + \sqrt{10} (10 \sqrt{2}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.8

Multipliziere $\sqrt{10} (10 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{10 \cdot 2} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.8.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{20} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.9

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{4 (5)} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 10 (2 \sqrt{5}) + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{190}$

Schritt 4.1.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10 \cdot 10}}{190}$

Schritt 4.1.13

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{100}}{190}$

Schritt 4.1.14

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + \sqrt{10^{2}}}{190}$

Schritt 4.1.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{100 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} + 10}{190}$

Schritt 4.2

Addiere $100$ und $10$ .

$\frac{110 + 10 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 4.3

Addiere $10 \sqrt{5}$ und $20 \sqrt{5}$ .

$\frac{110 + 30 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $110 + 30 \sqrt{5}$ und $190$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $10$ aus $110$ heraus.

$\frac{10 (11) + 30 \sqrt{5}}{190}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $10$ aus $30 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (11) + 10 (3 \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{190}$

Schritt 5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $10$ aus $190$ heraus.

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (11 + 3 \sqrt{5})}{10 \cdot 19}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{11 + 3 \sqrt{5}}{19}$

Dezimalform:

$0.93201073 \dots$