Trigonometrie Beispiele

$\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1}$ mit $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} + 1}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1} \cdot \frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} + 1}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1}$ mit $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} + 1}$ .

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{(4 \sqrt{2} - 1) (4 \sqrt{2} + 1)}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{16 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Potenziere $4 \sqrt{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{1} (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Schritt 3.2

Potenziere $4 \sqrt{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{1} {(4 \sqrt{2} + 1)}^{1}}{31}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{1 + 1}}{31}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{2}}{31}$

Schritt 4

Vereinfache ${(4 \sqrt{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe ${(4 \sqrt{2} + 1)}^{2}$ als $(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)$ um.

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2} + 1) + 1 (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{16 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \cdot 2^{1} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{16 \cdot 2 + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $4 \sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 1 \cdot 1}{31}$

Schritt 4.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 1}{31}$

Schritt 4.3.2

Addiere $32$ und $1$ .

$\frac{33 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{31}$

Schritt 4.3.3

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{33 + 8 \sqrt{2}}{31}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{33 + 8 \sqrt{2}}{31}$

Dezimalform:

$1.42947446 \dots$