Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2}{\sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{7}{7} - \frac{2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7}}}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}$ mit $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2} \cdot \frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2})}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}$ mit $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} - 2)}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{{\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{7} \cdot - 2 + 2 \sqrt{7} - 4}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{3}}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot - 2}{3}}$

Schritt 6.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \cdot - 2}{3}}$

Schritt 6.6

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 7} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{49} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Schritt 7.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7^{2}} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}}$

Schritt 8

Multipliziere $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}$ mit $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Schritt 8.2

Potenziere $7 - 2 \sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1} (7 - 2 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Schritt 8.3

Potenziere $7 - 2 \sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1} {(7 - 2 \sqrt{7})}^{1}}{7 \cdot 3}}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1 + 1}}{7 \cdot 3}}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{7 \cdot 3}}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{21}}$

Schritt 9

Schreibe ${(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}$ als $(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})$ um.

$\sqrt{\frac{(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 10

Multipliziere $(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{7 (7 - 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{7 \cdot 7 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{7 \cdot 7 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{49 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 11.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})$ .

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Schritt 11.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{21}}$

Schritt 11.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 11.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{21}}$

Schritt 11.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{21}}$

Schritt 11.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{21}}$

Schritt 11.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 11.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{21}}$

Schritt 11.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{21}}$

Schritt 11.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{21}}$

Schritt 11.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{21}}$

Schritt 11.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{1}}{21}}$

Schritt 11.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{21}}$

Schritt 11.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 28}{21}}$

Schritt 11.2

Addiere $49$ und $28$ .

$\sqrt{\frac{77 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7}}{21}}$

Schritt 11.3

Subtrahiere $14 \sqrt{7}$ von $- 14 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{77 - 28 \sqrt{7}}{21}}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $77 - 28 \sqrt{7}$ und $21$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $7$ aus $77$ heraus.

$\sqrt{\frac{7 (11) - 28 \sqrt{7}}{21}}$

Schritt 12.2

Faktorisiere $7$ aus $- 28 \sqrt{7}$ heraus.

$\sqrt{\frac{7 (11) + 7 (- 4 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (11) + 7 (- 4 \sqrt{7})$ heraus.

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{21}}$

Schritt 12.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.4.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Schritt 12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Schritt 12.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{3}}$

Schritt 13

Schreibe $\sqrt{\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{3}}$ als $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 14

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 15

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 15.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 15.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 15.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 15.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 15.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 15.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 15.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 15.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 16

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}}{3}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{(11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}}{3}$

Dezimalform:

$0.37282469 \dots$