Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2}{\sqrt{13}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{13^{1}}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{13}}{13}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{13}{13} - \frac{2 \sqrt{13}}{13}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13}}{\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13}}{\frac{\sqrt{13} + \sqrt{2}}{\sqrt{13}}}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + \sqrt{2}}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{13} - \sqrt{2}}{\sqrt{13} - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} (\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{13} - \sqrt{2}}{\sqrt{13} - \sqrt{2}})}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{13} - \sqrt{2}}{\sqrt{13} - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13} (\sqrt{13} - \sqrt{2})}{(\sqrt{13} + \sqrt{2}) (\sqrt{13} - \sqrt{2})}}$

Schritt 7

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13} (\sqrt{13} - \sqrt{2})}{{\sqrt{13}}^{2} - \sqrt{26} + \sqrt{26} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 8

Vereinfache.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13} (\sqrt{13} - \sqrt{2})}{11}}$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13} \sqrt{13} + \sqrt{13} (- \sqrt{2})}{11}}$

Schritt 10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13 \cdot 13} + \sqrt{13} (- \sqrt{2})}{11}}$

Schritt 11

Multipliziere $\sqrt{13} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 11.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13 \cdot 13} - \sqrt{13 \cdot 2}}{11}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13 \cdot 13} - \sqrt{26}}{11}}$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{169} - \sqrt{26}}{11}}$

Schritt 12.2

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{\sqrt{13^{2}} - \sqrt{26}}{11}}$

Schritt 12.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{13 - \sqrt{26}}{11}}$

Schritt 13

Multipliziere $\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13} \cdot \frac{13 - \sqrt{26}}{11}$ .

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{13 - 2 \sqrt{13}}{13}$ mit $\frac{13 - \sqrt{26}}{11}$ .

$\sqrt{\frac{(13 - 2 \sqrt{13}) (13 - \sqrt{26})}{13 \cdot 11}}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $13$ mit $11$ .

$\sqrt{\frac{(13 - 2 \sqrt{13}) (13 - \sqrt{26})}{143}}$

Schritt 14

Multipliziere $(13 - 2 \sqrt{13}) (13 - \sqrt{26})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26}) - 2 \sqrt{13} (13 - \sqrt{26})}{143}}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{13 \cdot 13 + 13 (- \sqrt{26}) - 2 \sqrt{13} (13 - \sqrt{26})}{143}}$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{13 \cdot 13 + 13 (- \sqrt{26}) - 2 \sqrt{13} \cdot 13 - 2 \sqrt{13} (- \sqrt{26})}{143}}$

Schritt 15

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$\sqrt{\frac{169 + 13 (- \sqrt{26}) - 2 \sqrt{13} \cdot 13 - 2 \sqrt{13} (- \sqrt{26})}{143}}$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} \cdot 13 - 2 \sqrt{13} (- \sqrt{26})}{143}}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $- 2$ .

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} - 2 \sqrt{13} (- \sqrt{26})}{143}}$

Schritt 15.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{13} (- \sqrt{26})$ .

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Schritt 15.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13} \sqrt{26}}{143}}$

Schritt 15.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 2 \sqrt{26 \cdot 13}}{143}}$

Schritt 15.1.4.3

Mutltipliziere $26$ mit $13$ .

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 2 \sqrt{338}}{143}}$

Schritt 15.1.5

Schreibe $338$ als $13^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 15.1.5.1

Faktorisiere $169$ aus $338$ heraus.

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 2 \sqrt{169 (2)}}{143}}$

Schritt 15.1.5.2

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13^{2} \cdot 2}}{143}}$

Schritt 15.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 2 (13 \sqrt{2})}{143}}$

Schritt 15.1.7

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 26 \sqrt{2}}{143}}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $169 - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 26 \sqrt{2}$ und $143$ .

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Schritt 15.2.1

Faktorisiere $13$ aus $169$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13) - 13 \sqrt{26} - 26 \sqrt{13} + 26 \sqrt{2}}{143}}$

Schritt 15.2.2

Faktorisiere $13$ aus $- 13 \sqrt{26}$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13) + 13 (- \sqrt{26}) - 26 \sqrt{13} + 26 \sqrt{2}}{143}}$

Schritt 15.2.3

Faktorisiere $13$ aus $13 (13) + 13 (- \sqrt{26})$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26}) - 26 \sqrt{13} + 26 \sqrt{2}}{143}}$

Schritt 15.2.4

Faktorisiere $13$ aus $- 26 \sqrt{13}$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26}) + 13 (- 2 \sqrt{13}) + 26 \sqrt{2}}{143}}$

Schritt 15.2.5

Faktorisiere $13$ aus $13 (13 - \sqrt{26}) + 13 (- 2 \sqrt{13})$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13}) + 26 \sqrt{2}}{143}}$

Schritt 15.2.6

Faktorisiere $13$ aus $26 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13}) + 13 (2 \sqrt{2})}{143}}$

Schritt 15.2.7

Faktorisiere $13$ aus $13 (13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13}) + 13 (2 \sqrt{2})$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2})}{143}}$

Schritt 15.2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.8.1

Faktorisiere $13$ aus $143$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2})}{13 \cdot 11}}$

Schritt 15.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{13 (13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2})}{13 \cdot 11}}$

Schritt 15.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}}{11}}$

Schritt 16

Schreibe $\sqrt{\frac{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}}{11}}$ als $\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{11}}$ um.

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{11}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 18

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 18.2

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Schritt 18.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Schritt 18.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 18.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 18.6

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 18.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 18.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 18.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 18.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 18.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{11^{1}}$

Schritt 18.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}} \sqrt{11}}{11}$

Schritt 19

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}) \cdot 11}}{11}$

Schritt 20

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{(13 - \sqrt{26} - 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{2}) \cdot 11}}{11}$

Dezimalform:

$0.56554921 \dots$