Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{1 - \frac{8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Schritt 1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{113}{113} - \frac{8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Schritt 3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{\frac{113}{113} + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{\frac{113 + 8 \sqrt{113}}{113}}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113} \cdot \frac{113}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $113$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113} \cdot \frac{113}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}$ mit $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}}$ .

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) (\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}} \cdot \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}})}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}$ mit $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}}$ .

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{(113 + 8 \sqrt{113}) (113 - 8 \sqrt{113})}}$

Schritt 9

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{12769 - 904 \sqrt{113} + 904 \sqrt{113} - 64 {\sqrt{113}}^{2}}}$

Schritt 10

Vereinfache.

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $113$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $113$ aus $5537$ heraus.

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 (49)} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 \cdot 49} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Schritt 13

Multipliziere $- 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}$ .

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}$ und $- 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537} \sqrt{113}}$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537}$ und $\sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1

Gruppiere $\sqrt{113}$ und $113 - 8 \sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{\sqrt{113} (113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(\sqrt{113} \cdot 113 + \sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.3

Bringe $113$ auf die linke Seite von $\sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} + \sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.4

Multipliziere $\sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})$ .

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Schritt 14.4.1

Potenziere $\sqrt{113}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 ({\sqrt{113}}^{1} \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.4.2

Potenziere $\sqrt{113}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 ({\sqrt{113}}^{1} {\sqrt{113}}^{1})) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 {\sqrt{113}}^{1 + 1}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 {\sqrt{113}}^{2}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.5.1

Schreibe ${\sqrt{113}}^{2}$ als $113$ um.

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Schritt 14.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{113}$ als $113^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 {(113^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{2}{2}}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{2}{2}}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{1}) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $113$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 904) \cdot - 8}{5537}}$

Schritt 14.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $113 \sqrt{113} - 904$ und $5537$ .

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Schritt 14.6.1

Faktorisiere $113$ aus $(113 \sqrt{113} - 904) \cdot - 8$ heraus.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{5537}}$

Schritt 14.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.6.2.1

Faktorisiere $113$ aus $5537$ heraus.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{113 (49)}}$

Schritt 14.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{113 \cdot 49}}$

Schritt 14.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(\sqrt{113} - 8) \cdot - 8}{49}}$

Schritt 14.7

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $\sqrt{113} - 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{- 8 \cdot (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Schritt 14.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} - \frac{8 (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Schritt 16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113} - 8 \cdot - 8}{49}}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113} + 64}{49}}$

Schritt 17

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 17.1

Addiere $113$ und $64$ .

$\sqrt{\frac{177 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113}}{49}}$

Schritt 17.2

Subtrahiere $8 \sqrt{113}$ von $- 8 \sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{177 - 16 \sqrt{113}}{49}}$

Schritt 18

Schreibe $\sqrt{\frac{177 - 16 \sqrt{113}}{49}}$ als $\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{49}}$ um.

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{49}}$

Schritt 19

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 19.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{7^{2}}}$

Schritt 19.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{7}$

Schritt 20

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{7}$

Dezimalform:

$0.37573511 \dots$