Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 1

Um $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ mit $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{78 (3 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $78$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{234 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $78$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.4.4

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7 + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.2

Addiere $234$ und $7$ .

$\sqrt{\frac{241 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $3 \sqrt{7}$ von $- 78 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{241 - 81 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 4.3

Addiere $241$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}}$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{9 + 3 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - {\sqrt{7}}^{2}}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Multipliziere $(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{243 (3 + \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $243$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 81$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Multipliziere $- 81 \sqrt{7} \sqrt{7}$ .

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Schritt 7.2.1.3.1

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{2}}$

Schritt 7.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{2}}$

Schritt 7.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{2}}$

Schritt 7.2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}}{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 7.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Schritt 7.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Schritt 7.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Schritt 7.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Schritt 7.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{1}}{2}}$

Schritt 7.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7}{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 81$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 567}{2}}$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $567$ von $729$ .

$\sqrt{\frac{162 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7}}{2}}$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $243 \sqrt{7}$ von $243 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{162 + 0}{2}}$

Schritt 7.2.4

Addiere $162$ und $0$ .

$\sqrt{\frac{162}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Dividiere $162$ durch $2$ .

$\sqrt{81}$

Schritt 8.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\sqrt{9^{2}}$

Schritt 8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$9$